Ο Κώστας Ασκούνης γεννήθηκε το 1955. Είναι Οικονομολόγος, παντρεμένος και πατέρας ενός γιού.
Ανέπτυξε έντονη δραστηριότητα στο φοιτητικό κίνημα και τους αγώνες της Μεταπολίτευσης. Ως εργαζόμενος, συνέχισε τη συνδικαλιστική του δράση στον τομέα των τραπεζών.
Είναι μέλος του ΠΑ.ΣΟ.Κ. από την ίδρυσή του και στέλεχος στη Β’ Περιφέρεια Αθηνών.
Η ενασχόλησή του με τα προβλήματα της Καλλιθέας ξεκινά από το 1975, ως μέλος του Εξωραϊστικού Συλλόγου Τζιτζιφιών – Αγίας Ελεούσης. Εκλέγεται Δημοτικός Σύμβουλος συνεχώς από το 1986, ενώ από το 1991 μέχρι το 1997 διετέλεσε Αντιδήμαρχος, αναπτύσσοντας πλούσια και αναγνωρισμένη δράση στους τομείς των αρμοδιοτήτων του.
Δήμαρχος Καλλιθέας εξελέγη στις δημοτικές εκλογές του 1998, επικεφαλής του Συνδυασμού «ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΛΛΙΘΕΑ» και επανεξελέγη Δήμαρχος επικεφαλής της ίδιας παράταξης, στις δημοτικές εκλογές του 2002.
Το Μάρτιο του 2003, στις εκλογές της Τ.Ε.Δ.Κ.Ν.Α. εξελέγη στο προεδρείο της, στη θέση του Αντιπρόεδρου και επανεξελέγη ως μέλος του Διοικητικού της Συμβουλίου τον Απρίλιο του 2007.
Έχει διατελέσει Αντιπρόεδρος του Ινστιτούτου Τοπικής Αυτοδιοίκησης (Ι.Τ.Α.).
Ο κ. Ασκούνης εξελέγη Δήμαρχος εκ νέου το 2006.
Το Μάρτιο 2008 εξελέγη στο Πολιτικό Συμβούλιο του ΠΑ.ΣΟ.Κ.
Επανεξελέγη Δήμαρχος Καλλιθέας στις δημοτικές εκλογές του 2010.
Τον Οκτώβριο του 2011 εξελέγη Πρόεδρος της Κεντρικής Ένωσης Δήμων Ελλάδας (Κ.Ε.Δ.Ε.).
Τον Οκτώβριο του 2023 επικεφαλής της παράταξης «ΕΝΩΜΕΝΟΙ ΜΠΡΟΣΤΑ», εξελέγη Δήμαρχος εκ νέου.